🧩 非刚体动力学#

本页简要概述了 Genesis 的连续介质和离散求解器实现的物理模型。重点在于正在求解哪些方程以及如何求解，而不是 Python API。耦合理论请参见专门的求解器与耦合章节。

1. 欧拉稳定流体求解器 (SFSolver)#

目的。 在固定网格上进行快速烟雾/气体模拟。

控制方程 – 不可压缩 Navier–Stokes 方程。

算法 – Jos Stam 的稳定流体：

  1. 对流 – 速度用三阶 RK 回溯并插值（backtrace + trilerp）。数值上无条件稳定。

  2. 外部脉冲 – 喷射源在对流后注入动量。

  3. 粘度/衰减 – 可选的指数阻尼项。

  4. 压力投影 – 用 Jacobi 迭代求解 Poisson 方程（pressure_jacobi）。

  5. 边界条件 – 通过在固体面镜像分量强制执行法向速度为零。

因为所有步骤都是显式或对角隐式的，该方法在大时间步长下极其鲁棒，适合实时效果。

2. 物质点法求解器 (MPMSolver)#

目的。 使用粒子 + 背景网格统一模拟固体、液体和颗粒介质。

核心思想。 连续介质动量方程在欧拉网格上求解，而材料历史（变形梯度、塑性应变等）存储在拉格朗日粒子上。

2.1 更新序列（APIC / CPIC 变体）#

阶段

描述

P2G

用 B-样条权重将质量和动量传输到相邻网格节点；添加应力贡献。

Grid solve

除以质量获得速度，应用重力和边界碰撞。

G2P

插值回网格速度，更新仿射矩阵和位置。

Polar-SVD

分解变形梯度；材料定律返回新的变形梯度。

2.2 本构模型#

Genesis 提供了几个解析应力函数：

  • Neo-Hookean 弹性（粉笔/雪）

  • Von Mises capped 塑性（雪-塑性）

  • 弱可压缩液体（WC 流体）

  • 各向异性肌肉 添加主动纤维应力

3. 有限元法求解器 (FEMSolver)#

目的。 具有四面体网格的高质量可变形固体；对刚性材料可选隐式积分。

3.1 能量公式#

总势能

\[ \Pi(\mathbf x) = \sum_{e} V_{e}\,\psi(\mathbf F_e) - \sum_{i} m_{i}\,\mathbf g\!\cdot\!\mathbf x_i. \]

第一变分产生内力；第二变分给出单元刚度。

3.2 隐式后向欧拉#

给定当前状态 \((\mathbf x^n, \mathbf v^n)\) 通过 Newton–Raphson 求解 \(\mathbf x^{n+1}\)：

\[ \mathbf r(\mathbf x) = \frac{m}{\Delta t^{2}}(\mathbf x - \hat{\mathbf x}) + \frac{\partial \Pi}{\partial \mathbf x} = 0,\]

其中 \(\hat{\mathbf x} = \mathbf x^{n} + \Delta t\,\mathbf v^{n}\) 是惯性预测。

每个 Newton 步骤用 PCG 求解 \(\mathbf H\,\delta \mathbf x = -\mathbf r\)；\(\mathbf H\) 是一致的刚度 + 质量矩阵。使用逐顶点 3×3 块的块-Jacobi 逆作为预处理器。线搜索（Armijo 回溯）保证能量减少。

4. 基于位置的动力学求解器 (PBDSolver)#

目的。 实时布料、弹性杆、XPBD 流体和粒子群。

4.1 XPBD 积分循环#

  1. 预测 – 显式 Euler：\(\mathbf v^{*}\!=\!\mathbf v + \Delta t\,\mathbf f/m\) 和 \(\mathbf x^{*}\!=\!\mathbf x + \Delta t\,\mathbf v^{*}\)。

  2. 投影约束 – 迭代边、四面体、SPH 密度等。 对于每个约束 \(C(\mathbf x)\!=\!0\) 求解 Lagrange 乘子 λ

    \[ \Delta\mathbf x = -\frac{C + \alpha\,\lambda^{old}}{\sum w_i\,|\nabla\!C_i|^{2}+\alpha}\,\nabla\!C, \quad \alpha = \frac{\text{compliance}}{\Delta t^{2}}. \]

  3. 更新速度 – \(\mathbf v = (\mathbf x^{new}-\mathbf x^{old})/\Delta t\)。

4.2 支持的约束#

  • 拉伸/弯曲（布料）

  • 体积保持（XPBD 四面体）

  • 不可压缩 SPH 密度和粘度约束（流体-PBD）

  • 通过位置校正 + 库仑模型的碰撞和摩擦。

5. 光滑粒子流体动力学求解器 (SPHSolver)#

目的。 具有 WCSPH 或 DFSPH 压力求解器的基于粒子的流体。

5.1 核函数#

三次样条核 \(W(r,h)\) 和梯度 \(\nabla W\)，支撑半径 \(h=\) _support_radius。

5.2 弱可压缩 SPH (WCSPH)#

  • 状态方程：\(p_i = k\bigl[(\rho_i/\rho_0)^{\gamma}-1\bigr]\)。

  • 动量方程：

    \[ \frac{d\mathbf v_i}{dt} = -\sum_j m_j \left( \frac{p_i}{\rho_i^2} + \frac{p_j}{\rho_j^2} \right) \nabla W_{ij} + \mathbf g + \mathbf f_{visc} + \mathbf f_{surf}. \]

5.3 无散度 SPH (DFSPH)#

  • 将求解分为散度遍（强制执行 \(\nabla\!\cdot\mathbf v = 0\)）和密度遍（强制执行 \(\rho\!=\!\rho_0\)）。

  • 两遍都使用 DFSPh 因子场通过 Jacobi 迭代迭代计算每个粒子的压力系数 κ。

  • 确保比 WCSPH 更大的时间步长下的不可压缩性。

参考文献#

  • Stam, J. “Stable Fluids”, SIGGRAPH 1999.

  • Zhu, Y.⁠ & Bridson, R. “Animating Sand as a Fluid”, SIGGRAPH 2005.

  • Gao, T. et al. “Robust Simulation of Deformable Solids with Implicit FEM”, SIGGRAPH 2015.

  • Macklin, M. et al. “Position Based Fluids”, SIGGRAPH 2013.

  • Bender, J. et al. “Position Based Dynamics”, 2014.

  • Bavo et al. “Divergence-Free SPH”, Eurographics 2015.